M A T E M A T I K A: Геометрија

M A T E M A T I K A: Геометрија

read more

НАЦРТНА ГЕОМЕТРИЈА

Нацртна геометрија је наука о томе како просторну фигуру математички прецизно представити у један плански цртеж при различитим пројекцијама, укључујући и то како од таквих планираних пројекција може да се конструише и одреди однос пресека између просторних фигура. Нацртну геометрију као математичку науку која је претеча пројективне геометрије основао је француски математичар Гаспард Монге у раду Géométrie descriptive објављеном после низ предавања на ову тему 1795.

Главни метод у нацртној геометрији користи паралелну пројекцију на два фиксна плана у простору који се описују као хоризонталне и вертикалне равни, ако су нормалне једна на другу под правим углом. Тачка у простору је обично одређена својим ортогоналним пројекцијама на овим плановима. Вертикалан план се може поставити изнад у хоризонталан при ротацији од 90° око линије пресека за планове. Ако се хоризонтални план доживљава као плански цртеж просторна тачка је тиме представљена са пар тачака на планском цртежу. Генерално се просторна фигура представља са два плана фигура у планском цртежу. Метода се зове двострука ортогонална пројекција или Гаспар Монге (Гаспар Монж) метода (пројекција). Ако пројекциони угао није прав, реч је о кривој пројекцији. Дакле, код ортогоналне пројекције све тачке предмета пројектују се под правим углом  90° (на три пројекцијске равни: вертикалну, хоризонталну и профилну). Добијене три слике зову се погледи.

Друга главна метода нацртне геометрије користи централну пројекцију и позната је као учење о перспективи. Закони перспективе су први пут формулисани у ренесанси Леон Б. Алберти 1435, а развијени од стране Леонарда да Винчија и Алберта Дурер. Разматра се један фиксни view plane у простору и једна фиксна поглед- тачка (тачка локација са које се посматра нешто) изван view plane. Тачка у простору различито од поглед - тачке пресликава се на view plane повлачењем линије из поглед - тачке (сноп) кроз тачку за пресек са view plane. Како би се реконструисала једна просторна фигура потребно је да се познаје њена укупна перспектива која је за једну праву линију у простору која пресеца view plane је она дуж у view plane која повезује тачку пресека са њеном тачком привидног пресека. Појам перспектива се користи у многим научним и уметничким дисциплинама (постоји више начина приказивања перспектива).

Остале методе укључују аксонометрију која је цртеж једне просторне фигуре која је постављена у једном конвенционалном тродимензионалном координатном систему; котирање метода, где се једна просторна фигура представља са својим ниво кривама у односу на плански цртеж као на једној топографској карти; фотограметрија, где су просторни облици реконструисани из централне пројекције на један view plane из различитих  поглед– тачака; cyclography (аркограф) где су тачке у простору представљене оријентисаним круговима на планском цртежу. Нацртна геометрија је од фундаменталног значаја за инжењеринг и архитектуру, и док рачунар није отворио нове графичке могућности играла је главну улогу у образовању инжињера и архитеката у својој најелементарнијој форми као пројекција – цртеж. У контексту компјутерске графике нацртна геометрија је у последњих неколико година изнова стекла  актуелност, а нови проблеми су се појавили у аутоматском уклањању линија које нису видљиве из једне дате поглед - тачке.´

read more

АЛГЕБАРСКА ГЕОМЕТРИЈА

Алгебарска геометрија је грана математике која проучава геометријске облике који се појављују као запремина решења за систем алгебарских једначина. Фигуре могу бити алгебарске криве или површи. Више општи облици називају се алгебарске многострукости или варијети. 

Алгебарска крива у равни је одређена скупом тачака  чије су координате (x,y) решења за једначину облика f(x,y) = 0, где је f дати полином. Ако је полином степена 1, решења су права линија. За полиноме степена 2 запремина решење је конусни пресек, који је обично кружница, елипса, парабола или хипербола; за полиноме виших степена добијају се више компликованије криве. Слично томе одређује се алгебарска површ у простору једначином g(x,y,z) = 0, где је g полином; систем  оваквих двеју једначина обично одређује алгебарску  просторну криву. 

Општи систем садржи k једачине формуле f_i(x₁,…,x_n) = 0 одговара полиномима f₁,…,f_k и n варијабли. Запремина решење које се састоји од  заједничких нула тачака (x₁,…,x_n) за полиноме f_i , назива се афина алгебарска многострукост. Алгебарске многострукости укључене су у низ области математике и физике, на пример, у теорији супер струна, криптографији и роботехници. 

Димензија 

У геометрији се генерално у алгебарској геометрији тражи класификација посматраних облика.  Груба подела добија се груписањем фигура према њиховој димензији. Интуитивно једна тачка има димензију 0,  једна крива димензију 1 и једна површ  димензију 2. За већину тачака  P на d – димензиону многострукост важиће да сe тачке близу P на многострукост могу јединствено одредити сетом (t₁,…,t_d) од d бројева. У том случају каже се да је многострукост глатка у тачки P. Тачка у којој многострукост није глатка зове се функција, у математици  сингуларна тачка, у којој је математички објекат (најчешће функција) недефинисаног или неправилног понашања (на пример, тачка у којој функција није диференцијабилна), ако је функција диференцијабилна у  (x0, y0) она је и непрекидна у  (x0, y0). Сингуларне тачке чине такође алгебарску многострукост и обично су уочљиве на некој слици многострукости. На алгебарским кривама сингуларне тачке су тачке где се крива прелама или  сече саму себе. 

Комплексна решења 

Важно је да се у алгебарској геометрији укључе комплексна решења за дате једначине, нпр. решења  (x₁,…,x_n), где  су координате x_j комплексни бројеви. Види Хилбертово формулисање бројева. Хилбертова  теорема нула- тачка, математичка теорема у алгебри; доказано од Д. Хилберта 1893. Ако суP,P₁,P₂,…,P_m полиноми у n варијабли, и свака заједничка нула- тачка у  P₁,…,P_m такође су нула- тачка у P,  каже се да постоји природан број k, па је P^k = Q₁P₁+ ∙∙∙+Q_mP_m, за одговарајуће полиноме Q_i. Теорема је дубока генерализација основне теореме алгебре. Треба напоменути да стварна димензија многострукости овим постаје дупла од алгебарске димензије. Једна алгебарска крива је геометријски гледано површ, а једна алгебарска површ је геометријски гледано четвородимензионални простор. 

Пројективне многострукости 

У алгебарској геометрији посматрају се често више опште многострукости за које се само локално претпоставља да се могу описати као заједничке нула –тачке за коначно много полинома. На пример чине ли нула – тачке за дате хомогене полиноме алгебарску многострукост у пројективном простору.  Урачунају ли се комплексна решења, пројективне алгебарске криве без сингуларних тачака у геометријском смислу су површи;  Риманове површи. Геометријски гледано ове површине се појављују додавањем  ручки на  лопти; број ручки зове се род (математички појам, genus (pluralgenera)) алгебарске криве.

Енумеративна геометрија 

Опште је познато код алгебарске геометрије да  одређени скуп облика на природан начин такође чини алгебарску многострукост. На  пример може ли се  запремина конусног пресека у плану сматрати  за алгебарску многострукост димензије5.  Истражујући ову многострукост  француски академски ментор Мишел Шал (1864) показао је да ако је дато 5 пресека купе у плану, обично ће бити 3264 конусних пресека који ће додиривати свих пет датих. Сам број је незанимљив, али методе које доводе до утврђивања броја су централне у грани албегарске геометрије која се зове енумеративна геометрија. Основни резултат је овде Етјен Безу  (1739-83) Безуова теорема  према којој је број пресечних тачака два плана алгебарске криве  код  два полинома  једнак прозводу њихових степена. 

Диофантске једначине 

Методе алгебарске геометрије су такође укључене у студије једначина, где се је пре свега заинтересовано за решења која су цела или рационални бројеви. Тако изјављује Последња Фермаова теорема, да за природни број p≥3 једначина x^p+y^p = z^p нема решења (x,y,z), где су  x, y и z природни бројеви.  Еквивалентно ово значи да на алгебарској криви са једначином x^p+y^p = 1 не постоје тачке (x,y), где су обе координате позитивни рационални бројеви. Герд Фалтингс  (теорема Фалтингса ) показао је  да на овој криви и на сродне криве само је коначно много тачака чије су координате рационални бројеви. Ендру Вајлс доказао је Велику Фермаову теорему у јуну 1993.

read more

ГЕОМЕТРИЈСКА ТЕЛА

Свако геометријско тело се састоји из облика, односно спољашње површине, као и од било којег материјала који га попуни. Свако геометријско тело има свој облик који варира по саставу, структури и величини.

У цртању се предмет зове физички објекат, представља модел или геометријско тело – комплетност и комплексност. Име предмета јавља се изучавањем предмета с тачке геометријских параметара и графичких начина приказа. Изучавањем предмета  из природе добијају се информације о облику, његовим конструктивним особинама, материјалу од којег је направљен, димензијама, тежини, површини, боји, функционалности  и друго. Геометријска информација значи прикупљање података о геометријском облику предмета, његовом положају и оријентацији у простору.

Сваки предмет има свој облик који је његова главна визуелна карактеристика. Геометријски облик се зове још и спољашњи облик предмета, обично у комбинацији са његовим геометријским особинама. Геометријске особине објекта су: величина, пропорције, релативна позиција саставних елемената облика. Предмети могу бити једноставног или сложеног облика. Предмети једноставног облика су геометријска тела: цилиндар, купа или конус, лопта, призма, пирамида. Предмети сложених (саставних) облика су они који се формирају комбинацијом различитих геометријских тела.

Облици једноставних геометријских тела

Тако облик квадра (ако су све стране паралелепипеда правоугаоници, такво се тело назива квадар) има 6 квадрата (хексаедар, коцка), површину (лице) : две су основа, а преостале четири образују затворену површину и зову се  бочне површине.

Структура облика геометријског тела – карактеристика облика, која показује однос и распоред делова површине у односу један на други. Ове карактеристике су међусобно повезане и дефинишу геометријски облик тела и било који други предмет. Једноставна геометријска тела подељена су на многоугаона (полиедар) и ротациона тела.

Тела ограничена равним површинама називају се рогљаста тела: коцка, пирамида, квадар и друга. Тела огранчена кривим или равним површинама називају се обла тела: лопта, ваљак, купа. Квадар је ограничен са 6 страна, три пара међусобно подударних и паралелних правоугаоника -  8 ширина и висина. Мрежа квадра састоји се од 6 правоугаоника – три пара једнаких.

read more