АЛГЕБАРСКА ГЕОМЕТРИЈА

Алгебарска геометрија је грана математике која проучава геометријске облике који се појављују као запремина решења за систем алгебарских једначина. Фигуре могу бити алгебарске криве или површи. Више општи облици називају се алгебарске многострукости или варијети. 

Алгебарска крива у равни је одређена скупом тачака  чије су координате (x,y) решења за једначину облика f(x,y) = 0, где је f дати полином. Ако је полином степена 1, решења су права линија. За полиноме степена 2 запремина решење је конусни пресек, који је обично кружница, елипса, парабола или хипербола; за полиноме виших степена добијају се више компликованије криве. Слично томе одређује се алгебарска површ у простору једначином g(x,y,z) = 0, где је g полином; систем  оваквих двеју једначина обично одређује алгебарску  просторну криву. 

Општи систем садржи k једачине формуле f_i(x₁,…,x_n) = 0 одговара полиномима f₁,…,f_k и n варијабли. Запремина решење које се састоји од  заједничких нула тачака (x₁,…,x_n) за полиноме f_i , назива се афина алгебарска многострукост. Алгебарске многострукости укључене су у низ области математике и физике, на пример, у теорији супер струна, криптографији и роботехници. 

Димензија 

У геометрији се генерално у алгебарској геометрији тражи класификација посматраних облика.  Груба подела добија се груписањем фигура према њиховој димензији. Интуитивно једна тачка има димензију 0,  једна крива димензију 1 и једна површ  димензију 2. За већину тачака  P на d – димензиону многострукост важиће да сe тачке близу P на многострукост могу јединствено одредити сетом (t₁,…,t_d) од d бројева. У том случају каже се да је многострукост глатка у тачки P. Тачка у којој многострукост није глатка зове се функција, у математици  сингуларна тачка, у којој је математички објекат (најчешће функција) недефинисаног или неправилног понашања (на пример, тачка у којој функција није диференцијабилна), ако је функција диференцијабилна у  (x0, y0) она је и непрекидна у  (x0, y0). Сингуларне тачке чине такође алгебарску многострукост и обично су уочљиве на некој слици многострукости. На алгебарским кривама сингуларне тачке су тачке где се крива прелама или  сече саму себе. 

Комплексна решења 

Важно је да се у алгебарској геометрији укључе комплексна решења за дате једначине, нпр. решења  (x₁,…,x_n), где  су координате x_j комплексни бројеви. Види Хилбертово формулисање бројева. Хилбертова  теорема нула- тачка, математичка теорема у алгебри; доказано од Д. Хилберта 1893. Ако суP,P₁,P₂,…,P_m полиноми у n варијабли, и свака заједничка нула- тачка у  P₁,…,P_m такође су нула- тачка у P,  каже се да постоји природан број k, па је P^k = Q₁P₁+ ∙∙∙+Q_mP_m, за одговарајуће полиноме Q_i. Теорема је дубока генерализација основне теореме алгебре. Треба напоменути да стварна димензија многострукости овим постаје дупла од алгебарске димензије. Једна алгебарска крива је геометријски гледано површ, а једна алгебарска површ је геометријски гледано четвородимензионални простор. 

Пројективне многострукости 

У алгебарској геометрији посматрају се често више опште многострукости за које се само локално претпоставља да се могу описати као заједничке нула –тачке за коначно много полинома. На пример чине ли нула – тачке за дате хомогене полиноме алгебарску многострукост у пројективном простору.  Урачунају ли се комплексна решења, пројективне алгебарске криве без сингуларних тачака у геометријском смислу су површи;  Риманове површи. Геометријски гледано ове површине се појављују додавањем  ручки на  лопти; број ручки зове се род (математички појам, genus (pluralgenera)) алгебарске криве.

Енумеративна геометрија 

Опште је познато код алгебарске геометрије да  одређени скуп облика на природан начин такође чини алгебарску многострукост. На  пример може ли се  запремина конусног пресека у плану сматрати  за алгебарску многострукост димензије5.  Истражујући ову многострукост  француски академски ментор Мишел Шал (1864) показао је да ако је дато 5 пресека купе у плану, обично ће бити 3264 конусних пресека који ће додиривати свих пет датих. Сам број је незанимљив, али методе које доводе до утврђивања броја су централне у грани албегарске геометрије која се зове енумеративна геометрија. Основни резултат је овде Етјен Безу  (1739-83) Безуова теорема  према којој је број пресечних тачака два плана алгебарске криве  код  два полинома  једнак прозводу њихових степена. 

Диофантске једначине 

Методе алгебарске геометрије су такође укључене у студије једначина, где се је пре свега заинтересовано за решења која су цела или рационални бројеви. Тако изјављује Последња Фермаова теорема, да за природни број p≥3 једначина x^p+y^p = z^p нема решења (x,y,z), где су  x, y и z природни бројеви.  Еквивалентно ово значи да на алгебарској криви са једначином x^p+y^p = 1 не постоје тачке (x,y), где су обе координате позитивни рационални бројеви. Герд Фалтингс  (теорема Фалтингса ) показао је  да на овој криви и на сродне криве само је коначно много тачака чије су координате рационални бројеви. Ендру Вајлс доказао је Велику Фермаову теорему у јуну 1993.